Los números complejos

Algunas ecuaciones de segundo grado no tienen solución real (por ejemplo, x² + 1= 0). Cuando se descubrió este hecho, no supuso una preocupación fuera del ámbito filosófico de las matemáticas. Sin embargo, el método ideado por Girolamo Cardamo (s XVI) para resolver las ecuaciones de tercer grado exigía para su aplicación que todas las ecuaciones de segundo grado se pudieran resolver. Por tanto, las matemáticas se vieron obligadas a admitir las raíces cuadradas de números negativos: son lo que llamaron números imaginarios. Mucho más tarde, se completaron los estudios, llegando a definir lo que llamamos el cuerpo de los números complejos.

Podemos definir un número complejo como cualquier expresión de la forma a + bi, en la cual a y b son números reales e i es la unidad imaginaria, un ente abstracto al cual atribuimos la propiedad de que su cuadrado es –1 : i² = -1.

Los números complejos tienen su razón de ser en la necesidad de dar respuesta a los problemas que aparecen al formular la unidad imaginaria, ya que su existencia hacía posible solucionar la ecuación x² + 1= 0, pero eliminaba el procedimiento que permitía calcular la suma y el producto de los elementos de la estructura obtenida: es decir, es necesario que, dados un número real b y la unidad imaginaria, estos elementos puedan multiplicarse (dando como resultado bi) y, para que pueda sumarse con números reales, ha de existir el elemento a + bi , en el cual a es un número real.

El teorema más importante de los relacionados con los números complejos es el que fue demostrado por Gauss, el llamado Teorema Fundamental del Álgebra. Este teorema afirma que cualquier polinomio con coeficientes complejos tiene una raíz compleja.